Критерии нечестности казино

Думаю, многие из вас видели раздел «Русские интернет казино» и читали там отзывы игроков. Типичный отзыв рулеточника выглядит так: «В октябре 2005 года (время и даты можно уточнить) неоднократно (!) на рулетке выпадали цветные серии по 9, 11 и 13 раз подряд» или «Так же присутствуют в рулетке и "волшебные" комбинации, типа 26,27,33,9,33,34,0,0 и были и другие ещё очень интересные» или «В последнее время часто вижу попадания в одну дюжину подряд до 10 раз» ну и оценка за честность где-то в районе двойки... Аналогичные по смыслу посты часто встречаются и на форуме. К сожалению, на мой взгляд, все эти мнения о нечестности казино не имеют под собой достаточных оснований. Не то, чтобы я был готов гарантировать честность тех или иных казино, но приведённые примеры совершенно не говорят и об их нечестности! Поэтому я и решил написать статью - мой взгляд на проблему математического доказательства нечестности казино.

Начнём, пожалуй, с «волшебных комбинаций». Вы знаете, как соотносится вероятность выпадения последовательностей 34, 34, 0, 34 и 10, 17, 35, 3 (это я взял из своей последней сессии в рулетку)? Или вероятности выпадения подряд 10 чёрных или 10 красных или чередования К, Ч, К, Ч, К, Ч, К, Ч, К, Ч или что-то вроде К, К, Ч, К, Ч, Ч, Ч, К, Ч, К? Открою небольшой секрет - вероятности таких последовательностей между собой равны... Но почему-то никто не будет кричать, когда у него выпадет 34, 11, 20, 21, но наверняка поднимет крик при выпадении 21, 21, 21, 21. Дело в том, что наш мозг пытается искать в окружающем некоторые закономерности. В первом случае он не видит закономерности, во втором - она налицо, поэтому мы начинаем считать эту последовательность неслучайной. Если игрок играет на цвет или дюжины, он будет искать закономерности в их выпадении. Если он некоторую закономерность обнаружит, то будет склонен считать игру неслучайной, то есть нечестной. Но на самом деле любая «закономерность» отлично соотносится с теорией вероятности и может являться результатом случайных процессов.

Ещё одна проблема многих игроков - предположение, что рулетка им что-то должна. Что если выпало 10 красных, то следом непременно должно выпасть чёрное. Или если не было дюжины 20 раз, то теперь-то она непременно выйдет. Или наоборот, если число выпало три раза за 37 спинов, то будет также часто выпадать и далее. На этом основано большинство систем игры в рулетку. Для оправдания этой идеи некоторые используют такие «умные» термины как «закон 2/3», поминают разные распределения... На самом деле закон есть только один - каждый спин рулетки никоим образом не зависит от предыдущих. В общем, никаких «гарантированных» закономерностей нет. Если выпало 10 раз подряд красное, то вероятность того, что следующий раз также выпадет красное, = вероятности, что выпадет чёрное, = 18/37.

Некоторые жалобщики не приводят «невероятных» последовательностей, а пишут так: «На рулетке раздевают по-умному, но жестоко: сначала немного, но долго выигрываешь, затем резко все проигрываешь». В этом посте за версту виден любитель мартингейла или других прогрессивных систем ставок. Здесь уже есть статья о мартингейле, перечитайте на досуге, я туда тоже добавил математики ;). Не хочу вас огорчать, но честную рулетку невозможно обыграть :(. Рулетка имеет преимущество казино 2,7% и оно обязательно проявится на дистанции. Если вы будете играть флэтбетом (не варьируя ставки), то будете колебаться около нуля, постепенно сползая в минус. Кому-то сразу не повезёт и он будет проигрывать, но примерно половина игроков начнёт играть в плюс, но математики рулетки всё равно своё возьмёт и через некоторое время игрок обязательно уйдёт в минус. Что касается мартингейла, то да, он начнёт приносить деньги, поначалу будут в плюсе большинство игроков, но ведь -2,7% никто не отменял и в не очень хороший момент вы получите совершенно случайную последовательность. которая заберёт ваши деньги. И будет это вовсе не потому, что казино что-то «подстроило», а потому, что это обязательно должно случиться по теории вероятности.

То что было написано выше, скорее относится к психологии игры. Давайте таки перейдём к математике. Давайте сначала прикинем насколько «невероятны» те или иные события. Я постарался свести несколько таких событий в общую таблицу, вот что получилось:

Небольшие комментарии к вычислениям. Как я уже говорил, каждый спин рулетки - независимое событие, а чтобы вычислить вероятность одновременно нескольких независимых событий, их вероятности надо перемножать. Например, хотим вычислить вероятность выпадения 4х чисел подряд. Тут возможны два подхода:

а) вычисляем вероятность, что выпадёт 4 раза определённое число, например, зеро. Вероятность его выпадения один раз 1/37, соответственно 4 раза подряд оно выпадет с вероятность (1/37)^4. Но это конкретно только зеро, а всего разных чисел у нас 37, то есть любое из чисел может выпасть 4 раза подряд в 37 раз чаще, получаем (1/37)^4*37=(1/37)^3. Итоговую формулу вы можете видеть в столбце «Формула Excel».
б) предположим, что у нас уже выпало некое число (свершившийся факт, вероятность 100%). Чтобы оно выпало 4 раза подряд, оно должно выпасть ещё три раза. Вероятность этого события - (1/37)^3. Итак получаем ту же формулу, тот же результат порядка 1 к 50.000.

Аналогично считают прочие вероятности 10 одного цвета подряд - цвет выпадает с вероятностью 18/37, возводим в девятую степень (10-1) исходя из указанной выше логики. 10 одного цвета и зеро подряд означает, что мы не делаем страхующие ставки на зеро и оно также приводит к нашему проигрышу. Вероятность выпадения цвета или зеро уже 19/37. Итоговая вероятность получается примерно в 2 раза больше, чем соответствующая без зеро. Надеюсь, с дюжинами подряд тоже всё ясно. И вообще, формула несложная, можно легко посчитать вероятности любых событий и последовательностей в рулетке.

Взгляните ещё раз на результаты, те которые в столбце «Вероятность 1 к ...» Как видите, самое «невероятное» событие - 16 одного цвета без зеро подряд в среднем должно случаться 1 раз на 50.000 спинов. Нет, конечно, это не слишком часто, но считать, что это событие невероятное нельзя. Я уж не говорю про 10 одного цвета, при вероятности 1 к 600 это лишь день игры... Кроме того, не забывайте, что 1 к 655 не означает, что событие произойдёт только через 655 спинов, оно может произойти и через 50 спинов, а может - только через 1000, это ведь случайное событие. В общем, сам факт выпадения 10-15 одного цвета подряд (или 4 раза одно число и т.д.) не может никоим образом свидетельствовать о нечестности казино, это достаточно вероятные события.

«Так что», скажете вы - «казино невозможно уличить в нечестности?». Можно, хотя и сложно. Для этого придётся наиграть большое количество игр ибо на короткой дистанции вероятность любого события довольно высока и вы не сможете доказать мошенничество. Какая наша задача, как можно доказать нечестность? Мы должны найти такое событие, вероятность которого будет ничтожно мала, скажем, 10 в -10 степени или ещё меньше. В этом случае отмазки на «всё случается» будут заслуживать гораздо меньшего доверия, а если такое событие произойдёт у нескольких человек, то факт мошенничества можно считать доказанным. Думаю, вам уже понятно, что на «n красных подряд» далеко не уедешь, надо считать что-то другое. Тут в дело вступает моё любимое биномиальное распределение :).

Процитирую Википедию: «Биномиальное распределение — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p». Давайте сразу же попробую объяснить на примере с рулеткой. Вы играете на шансы, но вам кажется, что как-то слишком уже часто выпадает зеро, забирая все ваши ставки... С этом случае каждый спин - независимый случайный эксперимент, так как мы хотим пронаблюдать за зеро, то «успех», это его выпадение, а вероятность выпадения зеро 1/37. Скажем, вы сделали 100 спинов. Биномиальное распределение подскажет вам, какова вероятность, что зеро выпадет 0, 1, 2, 3, ... раз. Для работы с биномиальным распределением я всегда пользуюсь формулой Эксела БИНОМРАСП. В данном случае фунция выглядела следующим образом: БИНОМРАСП(количество зеро,100,1/37,ЛОЖЬ), где количество зеро - число зеро от 0 до 10, 100 - количество спинов (испытаний), 1/37 - вероятность выпадения зеро (успеха), ЛОЖЬ - говорит, что мы хотим увидеть вероятность выпадения каждого количества зеро отдельно. В результате получим такую таблицу:

Как видите, даже 10 зеро, в три раза больше нормы, и то вполне вероятны, так что на малом количестве испытаний «схватить за руку» казино слабореально. Но давайте посмотрим, что будет, если количество испытаний увеличить... Ниже вы видите таблицу для вероятности отклонения выпадений числа от матожидания (около 270 чисел) в 10.000 испытаний. В данном случае использовалась следующая функция - БИНОМРАСП(количество зеро,10000,1/37,ИСТИНА). Параметр ИСТИНА здесь говорит, что мы хотим узнать не вероятность выпадения конкретного числа, а вероятность выпадения всех чисел меньших или равных данному. Для чисел от 270 наша формула вычитается из единицы (чтобы наглядно была видна вероятность отклонения, иначе общее число будет приближаться к 1, что неудобно для отображения).

Вы видите, что вероятность прихода за 10.000 спинов одного числа менее 180 раз крайне низка... С приближением к матожиданию (МО) вероятность повышается и приближается к 50%. Этого и следует ожидать - отклонение от МО как вверх, так и вниз равновероятны, то есть в 50% случаев мы получим меньшее количество выпадений и в 50% - большее. С удалением от точки МО вероятность появления отклонения опять падает. Как вы видите на 380 оно зашкаливает за -10 степень. То есть отклонение на 40% от МО уже столь маловероятно, что в случае его появления можно смело считать казино нечестным. Если вы будете увеличивать количество испытаний (спинов), то «вероятные» результаты всё ближе будут приближаться к МО.

Аналогичным образом можно анализировать и другие вещи... Например, вы всё время ставите на красное, сделали 1000 спинов, красное выпало только 450 раз. Считаем БИНОМРАСП(450,1000,18/37,ИСТИНА), получаем вероятность 1,1% - не очень, но невероятным не назовёшь. А если 850 за 2000 раз, то вероятность в 2Е-8 уже заставляет думать очень плохо о казино. Если играете на «цветные» серии, можете посчитать сколько раз выпадали серии по 10 и более не вашего цвета. Если их было 15 за 1000 спинов при вероятности серии в 1/403, значит из казино надо бежать (вероятность порядка 1Е-8).

Надеюсь, вам понятно, что данная математика работает не только в рулетке. Биномиальное распределение работает с любыми дискретными независимыми событиями, а все игры казино можно отнести к таковым (если честно, очень небольшая корректировка может быть в карточных играх и то больше в реальных казино, где нет перемешивания колоды каждый раз). Например, в своей методике тестирования я указываю, что блэкджек в среднем должен приходить игроку 1 раз из 21. Если после 1000 сдач вы получили 20 блэкджеков вместо 48, то казино почти наверняка мошенничает. Аналогично можно считать выпадение различных сумм в баккара, комбинаций в покере, а если знать развёртку в слотах, то частоту выпадения в них разных картинок, и т.д. Правда, чтобы получить действительно серьёзные цифры, надо либо очень много играть (тысячи а лучше десятки тысяч игра), либо казино должно жульничать с силой страшной. К сожалению, мало игроков готовы идти на подобный эксперимент, тем более что не все казино выдают статистику своих игр. Если бы был доступ к результатам игр самого казино, то доказать честность или нечестность было бы просто, но казино пока такой информацией делиться не желают (за исключением Casino Clubа, который публикует все спины одного своего рулеточного стола).

Если вам сложно раздобыть историю игр, чтобы проанализировать полные результаты, можно попробовать оценить честность казино по вашему денежному результату. Вы знаете, сколько денег у вас было в начале игры, сколько осталось в конце, надо только узнать, сколько вы сделали ставок. Если вы играли флэтбетом, то вероятность ваших фактических результатов можно оценить по следующей формуле: НОРМСТРАСП((Итог+n*МО)/КОРЕНЬ(n)/СКО), где Итог - фактический выигрыш (проигрыш) в ставках, n - количество игр, МО - преимущество казино в игре, СКО - среднеквадратичное отклонение для игры. Количество игр вы должны узнать сами, МО есть на странице «Стратегии игр», СКО для блэкджека - 1,15, баккара - 0,95, видео покера - 4,42, рулетки - от 1 для шансов до 5,76 для номера.

Предположим, вы играли в блэкджек по оптимальной стратегии, где преимущество казино 0,005. Вы сыграли 2000 игр и проиграли 50 ставок (хотя должны были проиграть 2000*0,005=10). Подставляем числа в формулу, получаем НОРМСТРАСП((-50+2000*0,005)/КОРЕНЬ(2000)/1,15)=21%. Как видите, результат очень даже вероятный... Вероятность около 0,1% получится лишь при -170 ставках, что соответствует фактическим выплатам в 1-170/2000=91,5%. Но опять же, по мере увеличения количества игр точность расчётов будет расти. Кстати, обратите внимание, что для использования формулы я просил играть флэтбетом. В принципе, эта формула может применяться и при использовании прогрессивных ставок, но при этом будет условие - вы должны сыграть не менее нескольких тысяч игр. В случае флэтбета формула работает от полутора сотен игр. Это связано со сходимостью результатов игры к нормальному закону распределения, о чём тут нет желания распространяться (ибо сам не всё понимаю в дебрях матстата).

В отсутствии больших массивов информации может возникнуть вопрос: а какую вероятность считать подозрительно низкой? Боюсь, однозначного ответа я дать не могу... Лично я мог бы понять событие с вероятностью 1% (не путайте с событием с частотой 1%! 8 одного цвета подряд выпадают с частотой 1%, но если я сыграл уже 200 спинов, то вероятность выпадения их будет 27% и даже если я сыграл только 20 спинов, вероятность всё равно составляет 17%). Если вероятность меньше, чем 0,01%, я развернусь и вряд ли посещу ещё раз данное заведение. А если я узнаю, что событие с такой же вероятность было ещё и у других игроков, то вполне можно говорить о мошенничестве. Аналогично можно с уверенностью говорить о мошенничестве, если одно и тоже событие с низкой вероятностью происходит чуть ли не каждую сессию. Если вы сыграли три сессии по 200 игр и в каждой вам пришло так мало блэкджеков, что вероятность составляет лишь несколько процентов, то это тоже надёжный критерий нечестности (для подтверждения можно вновь использовать формулу биномиального распределения, где в качестве эксперимента берём целую сессию, то есть у нас три успеха в трёх экспериментах). Точно также можно не сомневаться в нечестности, если вам «припрёт» событие с вероятностью порядка 1Е-8 и реже.

Статья получилась наполненной математикой, не очень лёгкой для восприятия. Тем не менее, очень бы хотелось, чтобы она заставила игроков задуматься, оценить игры казино с точки зрения математики. В любом случае, убедительно прошу тот факт, что вышло 12 раз подряд чёрное, или тот факт, что вы проиграли, не ставить автоматически в вину казино. Возьмите формулы, подставьте свои цифры и убедитесь, что вероятность таких событий не такая уж маленькая... Если же вам с цифрами в руках удастся доказать, что казино виновно в подтасовке результатов - сообщите об этом общественности, подкрепив информацию расчётами. За примерами далеко ходить не надо, тут есть статья 101-ый способ проверить честность казино, где ясно показано, что Ва-Банк мошенничал в кено (посчитайте сами вероятность честной игры для угадывания 4 и 5 шаров). Были и другие разоблачения, например, десятилинейных видеопокеров у «Шанса» (мир его праху). Финальная мораль такова - большинство казино приличные, но есть и «паршивые овцы», только желательно доказывать их паршивость не на псевдонаучных «10 красных подряд» или «сначала выигрывал, потом стали опускать», а на действительно весомых примерах.

Автор: Шероков Юрий. Ваш покорный слуга, также автор большей части сайта «Казино Онлайн» ;).

P.S. К сожалению, в такой достаточно насыщенной математикой работе я мог допустить ошибки :(. Если что-то заметите - пишите, если что-то непонятно, то всегда можно спросить на форуме.